Phát triển từ một bài toán tính tổng

I - đặt vấn đề

Thực tiễn giảng dạy trong những năm qua cho ta thấy rằng: nếu chỉ với những bài giảng của người giáo viên thì thời lượng chương trình không thể và cũng không nên đáp ứng hết sự tìm tòi của học sinh . Hãy giành ra một “ khoảng trống ” để phát huy khả năng sáng tạo và khả năng tư duy tình huống trên những ví dụ cụ thể từ đó khơi dâỵ những tiềm năng sẵn có của các em.
Niềm say mê trong quá trình học tập là tính sáng tạo. Tính sáng tạo được coi như vấn đề khó và khả năng thực hiện sẽ như thế nào? Giúp học sinh hiểu rằng sáng tạo không phải là bắt chước, mà cần làm sáng tỏ tính tự nhiên, cho phép đem lại giải pháp tối đa về một vấn đề nào đó .Một bài toán có thể có nhiều cách giải, với một phương pháp giảng dạy đúng đắn người giáo viên định hướng cho học sinh nắm bắt cốt lõi của vấn đề để từ đó đưa ra kết quả đúng với những cách giải của riêng các em .Để làm người trợ giúp đắc lực cho quá trình đó người giáo viên có thể đưa ra những gợi ý,những dạng toán …..v…v…
Trong khi tự mình giải và đi tìm phương pháp tối ưu cho một dạng toán,giáo viên cũng tìm thấy ở đó nhiều điều thú vị bồi dưỡng thêm kiến thức và kinh nghiệm sư phạm của mình.
Vì vậy, với một số bài toán nhỏ mà tôi nêu ra dưới đây đều có cùng một dạng được phát triển từ một bài toán cụ thể có thể coi như những ví dụ tiêu biểu minh chứng cho luận điểm của mình




(











II - Nội dung

(Bài toán 1:Cho A =1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100. Tính giá trị của A
Lời giải 1:Theo đề bài ta có:
A.3=(1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100).3 =1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ …+98.99(100-97)+99.100(101-97) =1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-3.4.5+4.5.6-4.5.6-…-97.98.99+98.99.100-98.99.100-99.100.101=99.100.101.
Vậy A = 333300
Bây giờ ta tạm thời quên đi đáp số 333300 mà chỉ chú ý tới tích cuối cùng 99.100.101 trong đó 99.100 là số hạng cuối cùng của A và 101là số tự nhiên kề sau của 100 , tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta dễ dàng nghĩ tới kết quả sau:
1.2+2.3+3.4+4.5+5.6 +…+n(n+1)=
Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết quả này bằng cách giải tuơng tự như trên.
Bây giờ ta tìm lời giải khác cho bài toán .

Lời giải 2:
A.3=(1.2+2.3+3.4+…+97