Bài toán xác định một Đa Thức

Việc tìm tòi lời giảI bài toán xác định một đa thức thường gây lúng túng cho HS . Nguyên nhân chính là hs được trang bị đầy đủ các kiến thức cần thiêt nhưng rời rạc ởcác khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng . Bài viết này nhằm củng cố kiến thức về đa thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 đặc biêt chương trình HSG lớp 8
1, Một vài kiến thức cơ bản để giảI loại toán này :
Định lý Bơ-du : phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thưc x – a bằng giá trị của đa thức tại x = a , tức là f(x) = (x –a)g(x) + f(a)
Thực vậy , giả sử f(x) = (x –a)g(x) + r thì f(a) = r
Phương Pháp hệ số bất định
Giả sử f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì a3=b3 , a2=b2 , a1=b1 , a0=b0 .
Chứng minh : giả sử với 4 giá trị phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 có :
f(x1)=g(x1) (1) f(x2)=g(x2) (2)
f(x3)=g(x3) (3) f(x4)=g(x4) (4)
Đặt c3=a3 – b3 , c2=a2 – b2 , c1=a1 – b1 , c0=a0 – b0 .
Trừ theo vế của (1) và (2) được :
C3(x31 – x32 ) + C2(x12 – x22) + C1(x1 – x2) = 0
Vì x1 – x2 0 nên
C3(x13 +x1x3+x32) + C2(x1 + x2) + C1 = 0 (5)
Tương tự từ (1) và (3) có
C3(x12 + x1x3 + x32 ) + c2(x1+x3)+c1 = 0 (6)
Trừ theo tong vế của (5) và (6) rồi chia cho x2 – x3 0 được c2+c3(x1+x2+x3)=0 (7)
Tương tự từ (1) , (2) , (4) có :
C2+c3(x1 + x2 + x4) = 0 (8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) được c3(x3 – x4) = 0 c3=0 vì x3 – x4
0 . Thay c3 =0 vào (8) được c2 = 0 . Từ đó và (6) được c1 =0 . Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm .
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1 : Xác định đa thức bậc n ( n = 2,3) khi biết (n + 1) giá trị của đa thức
Bài toán 1 : Xác định đa thức bậc ba biết f(0) =1 ; f(1) = 0 ; f(2) = 5;f(3)= 22
Lời giải : Gọi đa thức cần tìm là :
F(x) = ax3 + b2 + cx + d
Theo bài ra ta có : f(0) = 1
d=1
f(1) = 0
a+b+c = -1 (1)
f(2) = 5
4a+2b+c=2 (2)
f(3) = 22
9a + 3b +c =7 (3)
Giải hệ phương trình (1) , (2) , (3) được a=1, b=0, c=-2 . Vậy f(x)=x3-2x+1
Chú ý rằng để xác định đa thức bậc n thì cần biết n+1 giá trị đa thức , còn nếu chỉ biết n giá trị thì